线性代数部分

第一章 行列式

1. 行列式的性质

1. 行列互换，其值不变，即 $|A|=|A^T|$。
2. 行列式中某行（列）元素全为零，则行列式为零。
3. 行列式中的两行（列）元素相等或对应成比例，则行列为零。
4. 行列式中某行（列）元素均是两个元素之和，则可拆成两个行列式之和。
5. 行列式中两行（列）互换，行列式的值反号。
6. 行列式中某行（列）元素有公因子 $k(k \neq 0)$，则 $k$ 可提到行列式外面，即

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ k a_{i1} & k a_{i2} & \cdots & k a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} =k \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

2. 数字型行列式常用公式

1. $\begin{vmatrix}A & O \\ O & B\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A & O \\ C & B\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}A & C \\ O & B\end{vmatrix}=|A||B|$
2. 设 $A$ 是 $m$ 阶方阵，$B$ 是 $n$ 阶方阵，则

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1}+b_{i1} & a_{i2}+b_{i2} & \cdots & a_{in}+b_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ b_{i1} & b_{i2} & \cdots & b_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$$

3. 抽象型行列式的常用公式

设 $A,B$ 为 $n$ 阶方阵，则

1. $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$（$A$ 可逆）
2. $|A^*|=|A|^{n-1}(n \geq 2)$
3. $|A|=\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n$，其中 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 是 $A$ 的 $n$ 个特征值
4. 若 $A$ 与 $B$ 相似，则 $|A|=|B|$

第二章 矩阵

1. 矩阵的运算

(1) 矩阵的加法运算

设 $A,B,C$ 是 $m \times n$ 的同型矩阵（只有同型矩阵才能作加法）

• $A+B=B+A$
• $(A+B)+C=A+(B+C)$
• $A+O=A$
• $A+(-A)=O$

(2) 矩阵的数乘（$k,l$ 为任意常数）

• $k(A+B)=kA+kB$
• $1A=A$
• $0A=O$

(3) 矩阵的乘法

• $(A+B)C=AC+BC$

2. 矩阵转置的运算规律

1. $(A^T)^T=A$
2. $(A+B)^T=A^T+B^T$
3. $(\lambda A)^T=\lambda A^T$
4. $(AB)^T=B^T A^T$

3. 伴随矩阵的性质

1. $AA^*=A^*A=|A|E$
2. $(kA)^*=k^{n-1}A^*(n \geq 2)$
3. $(AB)^*=B^*A^*$
4. $|A^*|=|A|^{n-1}(n \geq 2)$
5. $(A^*)^*=|A|^{n-2}A(n \geq 3)$
6. $(A^*)^T=(A^T)^*$

4. 可逆与不可逆的充分必要条件

(1) $n$ 阶矩阵 $A$ 可逆

$\Leftrightarrow |A| \neq 0$ $\Leftrightarrow AB=E$（或 $BA=E$） $\Leftrightarrow r(A)=n$ $\Leftrightarrow A^*$ 可逆 $\Leftrightarrow A$ 可以表示为若干初等矩阵的乘积 $\Leftrightarrow A$ 与 $E$ 等价 $\Leftrightarrow Ax=0$ 只有零解 $\Leftrightarrow \forall b$，$Ax=b$ 有唯一解 $\Leftrightarrow A$ 的列（行）向量组线性无关 $\Leftrightarrow A$ 的特征值都不为 $0$

(2) $n$ 阶矩阵 $A$ 不可逆

$\Leftrightarrow |A|=0$ $\Leftrightarrow r(A)<n$ $\Leftrightarrow Ax=0$ 有非零解 $\Leftrightarrow A$ 的列（行）向量组线性相关 $\Leftrightarrow 0$ 是 $A$ 的特征值

5. 可逆矩阵的性质

1. 若 $A$ 可逆，则 $A^{-1}$ 亦可逆，且 $(A^{-1})^{-1}=A$
2. 若 $A$ 可逆，则 $kA(k \neq 0)$ 亦可逆，且 $(kA)^{-1}=\frac{1}{k}A^{-1}$
3. 若 $A,B$ 可逆，则 $AB$ 亦可逆，且 $(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
4. 若 $A$ 可逆，则 $A^T$ 亦可逆，且 $(A^T)^{-1}=(A^{-1})^T$
5. $|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$ 注：一般地，$(A+B)^{-1} \neq A^{-1}+B^{-1}$

6. 求逆的方法

1. 定义法：若 $AB=E$，则 $A^{-1}=B$
2. 伴随矩阵法：$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*$
3. 初等变换法：$(A \mid E) \xrightarrow{\text{行变换}} (E \mid A^{-1})$
4. 分块矩阵求逆法

• $\begin{pmatrix}A & O \\ O & B\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1} & O \\ O & B^{-1}\end{pmatrix}$
• $\begin{pmatrix}O & A \\ B & O\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}O & B^{-1} \\ A^{-1} & O\end{pmatrix}$

7. 初等矩阵的性质

1. $|E_{ij}|=-1,|E_{ij}(k)|=1,|E_i(k)|=k$
2. $E_{ij}^T=E_{ij},E_{ij}^T(k)=E_{ji}(k),E_i^T(k)=E_i(k)$
3. $E_{ij}^*(k)=|E_{ij}(k)|E_{ij}^{-1}(k)=E_{ij}(-k)$
4. $E_{ij}^*=|E_{ij}|E_{ij}^{-1}=-E_{ij}$
5. $E_i^*(k)=|E_i(k)|E_i^{-1}(k)=kE_i\left(\frac{1}{k}\right)$
6. $A$ 可逆时，$(A^{-1})^*=(A^*)^{-1},(A^{-1})^T=(A^T)^{-1},(A^*)^T=(A^T)^*$

8. 矩阵方程的公式利用

1. 数乘：$k\begin{bmatrix}A & B \\ C & D\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}kA & kB \\ kC & kD\end{bmatrix}$
2. $A^T B^T=(BA)^T$，$A,B$ 可逆时，$A^{-1}B^{-1}=(BA)^{-1},A^*B^*=(BA)^*$

9. 矩阵等价

如果矩阵 $A$ 经有限次初等变换变成矩阵 $B$，则称矩阵 $A$ 与 $B$ 等价 $A$ 与 $B$ 等价 $\Leftrightarrow$ 存在可逆阵 $P$ 及 $Q$，使 $PAQ=B$ $\Leftrightarrow A,B$ 同型，且 $r(A)=r(B)$

10. 分块矩阵

1. 加法：同分法则 $\begin{bmatrix}A_1 & A_2 \\ A_3 & A_4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}B_1 & B_2 \\ B_3 & B_4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A_1+B_1 & A_2+B_2 \\ A_3+B_3 & A_4+B_4\end{bmatrix}$
2. 乘法：$\begin{bmatrix}A & B \\ C & D\end{bmatrix}\begin{bmatrix}X & Y \\ Z & W\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}AX+BZ & AY+BW \\ CX+DZ & CY+DW\end{bmatrix}$（可乘、可加）
3. 若 $A,B$ 分别为 $m,n$ 阶方阵，则分块对角矩阵的幂为 $\begin{bmatrix}A & O \\ O & B\end{bmatrix}^k=\begin{bmatrix}A^k & O \\ O & B^k\end{bmatrix}$
4. 已知 $A=\begin{bmatrix}B & O \\ D & C\end{bmatrix}$，$B$ 是 $r$ 阶可逆矩阵，$C$ 是 $s$ 阶可逆矩阵，则 $A$ 可逆且 $A^{-1}=\begin{bmatrix}B^{-1} & O \\ -C^{-1}DB^{-1} & C^{-1}\end{bmatrix}$
5. 副对角线分块矩阵：$A=\begin{bmatrix} & & & A_1 \\ & & A_2 & \\ & \ddots & \\ A_s & & \end{bmatrix}$，若 $A_i$ 均可逆，则 $A^{-1}=\begin{bmatrix} & & & A_s^{-1} \\ & & \ddots & \\ & A_2^{-1} & \\ A_1^{-1} & & \end{bmatrix}$

11. 关于矩阵的秩的公式

1. $0 \leq r(A_{m \times n}) \leq \min\{m,n\}$
2. $r(kA)=r(A)(k \neq 0)$
3. $r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)$
4. $r(AB) \leq \min\{r(A),r(B)\}$
5. $r(A+B) \leq r([A,B]) \leq r(A)+r(B)$
6. $r\left(\begin{bmatrix}A & O \\ O & B\end{bmatrix}\right)=r(A)+r(B)$
7. $r(A)+r(B) \leq r\left(\begin{bmatrix}A & O \\ C & B\end{bmatrix}\right) \leq r(A)+r(B)+r(C)$
8. $r(AB) \geq r(A)+r(B)-n$
9. $r(A)=r(A^T)=r(AA^T)=r(A^T A)$
10. $r(A^*)= \begin{cases} n, & r(A)=n \\ 1, & r(A)=n-1 \\ 0, & r(A) \leq n-1 \end{cases}$
11. 若 $A^2=A$，则 $r(A)+r(A-E)=n$
12. 若 $A^2=E$，则 $r(A+E)+r(A-E)=n$
13. $Ax=0$ 的基础解系所含向量的个数 $s=n-r(A)$
14. 若 $A \sim \Lambda$，则 $n_i=n-r(\lambda_i E-A)$，其中 $\lambda_i$ 是 $n_i$ 重特征根
15. 若 $A \sim \Lambda$，则 $r(A)$ 等于非零特征值的个数（重根按重数算）

第三章 向量组

1. 线性表示

(1) 向量 $\beta$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$ 线性表示

定义：存在数 $k_1,k_2,\cdots,k_m$，使 $\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_m\alpha_m$ $\Leftrightarrow$ 线性方程组 $x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_m\alpha_m=\beta$ 有解 $\Leftrightarrow r(A)=r(A,\beta)$，其中 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m)$

(2) 向量组 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$ 线性表示

定义 $\Leftrightarrow \beta_j$ 能由 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$ 线性表示，$j=1,2,\cdots,t$ $\Leftrightarrow r(A)=r(A,B)$，其中 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m),B=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t)$

(3) 向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$ 与 $\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_t$ 等价

定义 $\Leftrightarrow$ 两组向量能互相线性表示 $\Leftrightarrow r(A)=r(B)=r(A,B)$ $\Leftrightarrow \beta_1,\cdots,\beta_t$ 可由 $\alpha_1,\cdots,\alpha_m$ 线性表示，且 $r(A)=r(B)$

2. 线性相关性

(1) 线性相关

$n$ 维向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$ 线性相关 $\Leftrightarrow$ 存在一组不全为 $0$ 的数 $k_1,\cdots,k_m$，使 $k_1\alpha_1+\cdots+k_m\alpha_m=0$ $\Leftrightarrow$ 齐次线性方程组 $x_1\alpha_1+\cdots+x_m\alpha_m=0$ 有非零解 $\Leftrightarrow$ 至少有一个向量可由其余向量线性表示 $\Leftrightarrow |\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m|=0$

(2) 线性无关

$n$ 维向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$ 线性无关 $\Leftrightarrow$ 若 $k_1\alpha_1+\cdots+k_m\alpha_m=0$，则必有 $k_1=\cdots=k_m=0$ $\Leftrightarrow$ 齐次线性方程组 $x_1\alpha_1+\cdots+x_m\alpha_m=0$ 只有零解 $\Leftrightarrow$ 任一向量都不能由其余向量线性表示 $\Leftrightarrow |\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m| \neq 0$

3. 线性相关常用结论

1. 部分相关则整体相关，整体无关则部分无关
2. 低维无关则高维无关，高维相关则低维相关
3. 若 $\alpha_1,\cdots,\alpha_r$ 线性无关，$\beta,\alpha_1,\cdots,\alpha_r$ 线性相关，则 $\beta$ 可由 $\alpha_1,\cdots,\alpha_r$ 唯一线性表示
4. 多的向量组可由少的线性表示，则多的必相关；无关向量组不能由更少的表出
5. $n+1$ 个 $n$ 维向量必相关

4. 线性方程组解的个数

(1) $n$ 元线性方程组 $Ax=b$

1. 无解 $\Leftrightarrow r(A)<r(A,b)$
2. 有唯一解 $\Leftrightarrow r(A)=r(A,b)=n$
3. 有无穷多解 $\Leftrightarrow r(A)=r(A,b)<n$

(2) $n$ 元齐次线性方程组 $Ax=0$

1. 只有零解 $\Leftrightarrow r(A)=n$
2. 有非零解 $\Leftrightarrow r(A)<n$

5. 向量组等价

向量组 (I) $\alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 与 (II) $\beta_1,\cdots,\beta_t$ 同维时，等价充要条件：$r(\text{I})=r(\text{II})=r(\text{I,II})$

6. 空间基坐标变换公式

坐标变换公式：$x=Cy$

第四章 线性方程组

1. 线性方程组解的性质

1. 若$\xi_1$，$\xi_2$是$Ax=0$的解，则$\xi_1+\xi_2$也是$Ax=0$的解。
2. 若$\xi$是$Ax=0$的解，$k\in R$，则$k\xi$也是$Ax=0$的解。
3. 若$\eta_1$，$\eta_2$是$Ax=b$的解，则$\eta_1-\eta_2$是对应的齐次线性方程组$Ax=0$的解。
4. 若$\eta$是$Ax=b$的解，$\xi$是$Ax=0$的解，则$\xi+\eta$是$Ax=b$的解。
5. 若$\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_t$是$Ax=b$的解，则
   • 当$k_1+k_2+\cdots+k_t=0$时，$k_1\eta_1+k_2\eta_2+\cdots+k_t\eta_t$是$Ax=0$的解。
   • 当$k_1+k_2+\cdots+k_t=1$时，$k_1\eta_1+k_2\eta_2+\cdots+k_t\eta_t$是$Ax=b$的解。

2. 线性方程组解的结构

1. 设$r(A)=r$，$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$是齐次线性方程组$Ax=0$的一个基础解系，则$Ax=0$的通解为 $x=k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}$ 其中$k_1,k_2,\cdots,k_{n-r}$是任意常数。
2. 设$\eta^*$是$Ax=b$的一个特解，$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$是对应的齐次线性方程组$Ax=0$的一个基础解系，则$Ax=b$的通解为 $x=k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r}+\eta^*$ 其中$k_1,k_2,\cdots,k_{n-r}$是任意常数。

3. 克拉默法则

如果线性方程组

$$\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2 \\ \vdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n \end{cases}$$

的系数行列式$D=\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\neq0$，则 $x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},\cdots,x_n=\frac{D_n}{D}$ 其中$D_j(j=1,2,\cdots,n)$是把系数行列式$D$中第$j$列用常数项代替后所得的$n$阶行列式。

4. 同解方程组

若两个方程组$A_{m\times n}x=0$和$B_{s\times n}x=0$有完全相同的解，则称它们为同解方程组。 于是，$Ax=0$与$Bx=0$是同解方程组$\Leftrightarrow Ax=0$的解满足$Bx=0$，且$Bx=0$的解满足Ax=0$$\Leftrightarrow r(A)=r(B)，且$Ax=0$的解满足$Bx=0$（或$Bx=0$的解满足$Ax=0$）。

5. 线性方程组的几何意义

设线性方程组

$$\begin{cases} a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \\ a_3x+b_3y+c_3z=d_3 \end{cases}$$

记$A=\begin{bmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{bmatrix}$，$\overline{A}=\begin{bmatrix}a_1&b_1&c_1&d_1\\a_2&b_2&c_2&d_2\\a_3&b_3&c_3&d_3\end{bmatrix}$，$\Pi_i$表示第$i$张平面：$a_ix+b_iy+c_iz=d_i$，$\alpha_i$表示第$i$张平面的法向量$[a_i,b_i,c_i]$（$A$的行向量），$\beta_i$表示$[a_i,b_i,c_i,d_i]$（$\overline{A}$的行向量），$i=1,2,3$。

方程组有解的情形

方程组无解的情形

第五章 特征值与特征向量

1. 特征值与特征向量的性质

1. 设$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$是$n$阶方阵$A$的$n$个特征值，则
   • $\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}$
   • $\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n=|A|$
2. 矩阵$A$对应于不同特征值的特征向量线性无关。
3. 矩阵$A$的$k$重特征值$\lambda$至多有$k$个线性无关的特征向量；$A$有$n$个不同特征值时，有$n$个线性无关的特征向量。
4. 设$n$阶方阵$A$的特征值为$\lambda$，$A$的属于特征值$\lambda$的特征向量为$\alpha$，对应变换后的特征值与特征向量：

2. 矩阵相似的性质与重要结论

$A$与$B$相似\Rightarrow |A-\lambda E|=|B-\lambda E|$$\Rightarrow A,B特征值相同、迹相等、秩相等、$A\sim B^{-1}$。

重要结论

1. $A\sim B\Rightarrow A^m\sim B^m,f(A)\sim f(B)$
2. $A\sim B,B\sim \Lambda\Rightarrow A\sim \Lambda$
3. $A\sim \Lambda,B\sim \Lambda\Rightarrow A\sim B$
4. $A\sim C,B\sim D\Rightarrow \begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}\sim\begin{pmatrix}C&O\\O&D\end{pmatrix}$

3. 矩阵可相似对角化的条件

充要条件

1. $A$有$n$个线性无关的特征向量$\Leftrightarrow A\sim \Lambda$
2. $n_i=n-r(\lambda_iE-A)\Leftrightarrow A\sim \Lambda$

充分条件

1. 实对称矩阵$\Rightarrow A\sim \Lambda$
2. $A^2=A\Rightarrow A\sim \Lambda$
3. $A^2=E\Rightarrow A\sim \Lambda$

否定条件

1. $A\neq O,A^k=O$（$k>1$）$\Rightarrow$不可对角化
2. 特征值全为$k$且A\neq kE$$\Rightarrow不可对角化

4. 对角化的步骤

1. 求$A$的特征值$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$；
2. 求$A$的$n$个线性无关特征向量$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$；
3. 令$P=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$，$\Lambda=\mathrm{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)$，则$P^{-1}AP=\Lambda$。

5. 正交矩阵相关结论

1. 若$A$为正交矩阵，则

$$\begin{aligned} A^TA=E&\Leftrightarrow A^{-1}=A^T\Leftrightarrow 行/列向量为规范正交基\\ &\Leftrightarrow A^T、A^*、-A均为正交矩阵 \end{aligned}$$

2. $A,B$同阶正交$\Rightarrow AB$正交，$A+B$不一定正交；
3. 正交矩阵的实特征值为$\pm1$。

第六章 二次型

1. 标准正交化

以$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$为例：

施密特正交化

$\beta_1=\alpha_1,$ $\beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1,$ $\beta_3=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2.$

单位化

$\gamma_1=\frac{\beta_1}{\|\beta_1\|},\gamma_2=\frac{\beta_2}{\|\beta_2\|},\gamma_3=\frac{\beta_3}{\|\beta_3\|}.$

2. 正交相似对角化的步骤

1. 求实对称阵$A$的特征值$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$；
2. 求$A$的$n$个线性无关特征向量；
3. 特征向量正交化、单位化得$\beta_1,\cdots,\beta_n$；
4. 令$Q=(\beta_1,\cdots,\beta_n)$，则$Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\Lambda$。

3. 化二次型为标准型的方法

正交变换法

1. 写出二次型矩阵$A$；
2. 求$A$的特征值与特征向量；
3. 特征向量正交单位化，构造正交阵$Q$；
4. 令$x=Qy$，得$f=\sum_{i=1}^n\lambda_iy_i^2$。

配方法

1. 含平方项：逐一对变量配方，化为平方和形式；
2. 无平方项：先做可逆线性变换$x_1=y_1+y_2,x_2=y_1-y_2$产生平方项，再配方。

4. 相似与合同

判断相似

1. $P^{-1}AP=B\Rightarrow A\sim B$；
2. 传递性：$A\sim B,B\sim C\Rightarrow A\sim C$；
3. 可对角化矩阵：特征值相同$\Leftrightarrow$相似。

判断合同

1. $C^TAC=B\Rightarrow A\simeq B$；
2. 传递性：$A\simeq B,B\simeq C\Rightarrow A\simeq C$；
3. 实对称阵：正负惯性指数相同$\Leftrightarrow$合同。

关系

1. 普通矩阵：相似与合同无必然联系；
2. 实对称矩阵：相似$\Rightarrow$合同。

5. 正定的充要条件

$f=x^TAx$正定（$A$正定）$\Leftrightarrow$

1. $\forall x\neq0,x^TAx>0$；
2. 正惯性指数$=n$；
3. 可逆阵$C$使$A=C^TC$；
4. 特征值全正；
5. 各阶顺序主子式$>0$，即 $a_{11}>0,\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}>0,\cdots,|A|>0$

6. 正定的重要结论

1. $A$正定$\Rightarrow kA、A^{-1}、A^*、A^m、C^TAC$正定（$k>0,|C|\neq0$）；
2. $A,B$正定$\Rightarrow A+B、\mathrm{diag}(A,B)$正定；
3. $A,B$正定$\Rightarrow AB$正定$\Leftrightarrow AB=BA$；
4. $A$正定且正交$\Rightarrow A=E$。

7. 柯西不等式

实对称正定阵$A$，对任意$n$维列向量$\alpha,\beta$，有 $(\alpha^TA\alpha)(\beta^TA\beta)\geq(\alpha^TA\beta)^2$ $A$半正定时仍成立。

8. 二次型的最值问题

设$A$的特征值$\lambda_1\leq\lambda_2\leq\cdots\leq\lambda_n$，则

1. $\lambda_1x^Tx\leq x^TAx\leq\lambda_nx^Tx$；
2. $x^Tx=1$时，$f_{\min}=\lambda_1,f_{\max}=\lambda_n$。

9. 二次型的几何应用

二次曲面$f(x_1,x_2,x_3)=1$的类型：