高等数学

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第零章 常用基础预备知识

1、三角函数重要公式

  • sin2x+cos2x=1sin^2 x + cos^2 x = 1
  • cos2x=cos2x−sin2xcos2x = cos^2 x - sin^2 x，sin2x=2sinxcosxsin2x = 2sinxcosx
  • tan(α±β)=tanα±tanβ1∓tanα⋅tanβtan(\alpha \pm \beta) = \frac{tan\alpha \pm tan\beta}{1 \mp tan\alpha \cdot tan\beta}

万能公式

若 tan\frac{x}{2} = u (-\pi < x < \pi)，则： sinx=2u1+u2,cosx=1−u21+u2sinx = \frac{2u}{1+u^2}, \quad cosx = \frac{1-u^2}{1+u^2}

注：若积分中出现 1+cosx1+cosx，一般使用公式 1+cosx=2cos2x21+cosx = 2cos^2\frac{x}{2}

2、一元二次方程基础

  1. 一元二次方程：ax2+bx+c=0(a≠0)ax^2 + bx + c = 0 (a \neq 0)
  2. 根的公式：x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
  3. 根与系数的关系（韦达定理）：x1+x2=−bax_1 + x_2 = -\frac{b}{a}，x1x2=cax_1x_2 = \frac{c}{a}
  4. 判别式与抛物线顶点：
    • 判别式：Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac
      • Δ>0\Delta > 0：方程有两个不等实根
      • Δ=0\Delta = 0：方程有两个相等实根
      • \Delta < 0：方程有两个共轭复根
    • 抛物线 y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c 的顶点：(−b2a,c−b24a)\left(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a}\right)

3、因式分解公式

反三角函数恒等式

arcsinx+arccosx=π2,arctanx+arccotx=π2arcsinx + arccosx = \frac{\pi}{2}, \quad arctanx + arccotx = \frac{\pi}{2}

三角函数恒等式

tan2x=sec2x−1,cot2x=csc2x−1tan^2x = sec^2x - 1, \quad cot^2x = csc^2x - 1

代数因式分解公式

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 (a−b)3=a3−3a2b+3ab2−b3(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) an−bn=(a−b)(an−1+an−2b+⋯+abn−2+bn−1)(n为正整数)a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1}) \quad (n为正整数)

  • nn 为偶数时：an−bn=(a+b)(an−1−an−2b+⋯+abn−2−bn−1)a^n - b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + \dots + ab^{n-2} - b^{n-1})
  • nn 为正奇数时：an+bn=(a+b)(an−1−an−2b+⋯−abn−2+bn−1)a^n + b^n = (a+b)(a^{n-1} - a^{n-2}b + \cdots - ab^{n-2} + b^{n-1})

二项式定理

(a+b)^n &= \sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k} \\ &= a^n + na^{n-1}b + \frac{n(n-1)}{2!}a^{n-2}b^2 + \cdots + \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}a^{n-k}b^k + \cdots + nab^{n-1} + b^n \end{aligned}$$ ### 4、数列基础 #### 等差数列 首项为 $a_1$，公差为 $d(d \neq 0)$ 的数列：$a_1, a_1+d, a_1+2d, \cdots, a_1+(n-1)d, \cdots$ 1. 通项公式：$a_n = a_1 + (n-1)d$ 2. 前 $n$ 项和：$$S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$$ #### 等比数列 首项为 $a_1$，公比为 $r(r \neq 0)$ 的数列：$a_1, a_1r, a_1r^2, \cdots, a_1r^{n-1}, \cdots$ 1. 通项公式：$a_n = a_1r^{n-1}$ #### 常见数列前 $n$ 项和 $$\sum_{k=1}^{n}k = 1+2+3+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}$$ $$\sum_{k=1}^{n}k^2 = 1^2+2^2+3^2+\cdots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$ $$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)} = \frac{n}{n+1}$$ $$1+r+r^2+\cdots+r^{n-1} = \frac{1-r^n}{1-r} \quad (r \neq 1)$$ ### 5、阶乘与双阶乘 $$n! = 1\cdot2\cdot3\cdot\cdots\cdot n \quad (规定0! = 1)$$ $$(2n)!! = 2\cdot4\cdot6\cdot\cdots\cdot(2n) = 2^n \cdot n!$$ $$(2n-1)!! = 1\cdot3\cdot5\cdot\cdots\cdot(2n-1)$$ ### 6、指数运算规则 $$a^\alpha \cdot a^\beta = a^{\alpha+\beta}, \quad \frac{a^\alpha}{a^\beta} = a^{\alpha-\beta}, \quad (a^\alpha)^\beta = a^{\alpha\beta}, \quad (ab)^\alpha = a^\alpha b^\alpha, \quad \left(\frac{a}{b}\right)^\alpha = \frac{a^\alpha}{b^\alpha}$$ （其中 $a,b$ 是正实数，$\alpha,\beta$ 是任意实数） ### 7、对数运算规则 $$log_a(MN) = log_aM + log_aN \quad (积的对数=对数的和)$$ $$log_a\frac{M}{N} = log_aM - log_aN \quad (商的对数=对数的差)$$ $$log_aM^n = nlog_aM \quad (幂的对数=对数的倍数)$$ $$log_a\sqrt[n]{M} = \frac{1}{n}log_aM$$ ### 8、常用不等式 1. 绝对值不等式： - $|a \pm b| \leqslant |a| + |b|$ - $||a| - |b|| \leqslant |a - b|$（$a,b$ 为实数） 2. 二元均值不等式：$$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \quad (a,b>0)$$ 3. 三元均值不等式：$$\sqrt[3]{abc} \leq \frac{a+b+c}{3} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}} \quad (a,b,c>0)$$ 4. 分式不等式：若 $a>b>0$，$0<a<x<b$，$0<c<y<d$，则 $$\frac{c}{b} &lt; \frac{y}{x} &lt; \frac{d}{a}$$ 5. 三角函数不等式：$sinx &lt; x &lt; tanx \quad (0 &lt; x &lt; \frac{\pi}{2})$ 6. 三角函数不等式：$sinx &lt; x \quad (x>0)$ 7. 指数不等式：$e^x \geq x + 1 \quad (\forall x)$ 8. 对数不等式：$x - 1 \geq lnx \quad (x>0)$ ## 第一章 函数、极限、连续 ### 1、常用等价无穷小 #### 普通函数型 当 $x \to 0$ 时： - $sinx \sim x$，$tanx \sim x$，$arcsinx \sim x$，$arctanx \sim x$ - $e^x - 1 \sim x$，$ln(1+x) \sim x$，$ln(x+\sqrt{1+x^2}) \sim x$ - $a^x - 1 = e^{xlna} - 1 \sim xlna \quad (a>0且a \neq 1)$ - $1 - cosx \sim \frac{1}{2}x^2$，$1 - cos^\alpha x \sim \frac{\alpha}{2}x^2$ - $(1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x \quad (\alpha \neq 0)$，$(1+x)^x - 1 = e^{xln(1+x)} - 1 \sim x^2$ #### 差函数型 当 $x \to 0$ 时： - $x - sinx \sim \frac{1}{6}x^3$，$x - arcsinx \sim -\frac{1}{6}x^3$ - $x - tanx \sim -\frac{1}{3}x^3$，$x - arctanx \sim -\frac{1}{3}x^3$ - $x - ln(1+x) \sim \frac{1}{2}x^2$，$e^x - 1 - x \sim \frac{1}{2}x^2$ ### 2、无穷大量阶的比较 当 $x \to +\infty$、$n \to \infty$ 且 $p,q>0,a>1$ 时： $$\lim_{n\to\infty}\frac{ln^pn}{n^q} = 0, \quad \lim_{n\to\infty}\frac{n^q}{a^n} = 0, \quad \lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!} = 0, \quad \lim_{n\to\infty}\frac{n!}{n^n} = 0$$ ### 3、常用的几个极限 $$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} = 1, \quad \lim_{x\to+0}x^x = 1$$ $$\lim_{x\to0^+}x^\alpha = \begin{cases}0, & \alpha>0, \\ 1, & \alpha=0, \\ +\infty, & \alpha&lt;0\end{cases}$$ $$\lim_{n\to\infty}n^x = \begin{cases}+\infty, & x>0, \\ 1, & x=0, \\ 0, & x&lt;0\end{cases}$$ ### 4、常用麦克劳林公式 $$e^x = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \cdots + \frac{1}{n!}x^n + o(x^n)$$ $$ln(1+x) = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3 - \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + o(x^n)$$ $$sinx = x - \frac{1}{3!}x^3 + \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+1})$$ $$cosx = 1 - \frac{1}{2!}x^2 + \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n})$$ $$tanx = x + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)$$ $$arcsinx = x + \frac{1}{6}x^3 + o(x^3)$$ $$arctanx = x - \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)$$ $$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots + x^n + o(x^n)$$ $$(1+x)^m = 1 + mx + \frac{m(m-1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{m(m-1)\cdots(m-n+1)}{n!}x^n + o(x^n)$$ ## 第二章 一元函数微分学 ### 1、基本求导公式 1. $y = c$（常数）：$y' = 0$ 2. $y = x^\alpha$（$\alpha$ 为实数）：$y' = \alpha x^{\alpha-1}$ 3. $y = a^x$：$y' = a^xlna$ 4. $y = log_ax$：$y' = \frac{1}{xlna}$ 5. $y = sinx$：$y' = cosx$ 6. $y = cosx$：$y' = -sinx$ 7. $y = tanx$：$y' = sec^2x$ 8. $y = cotx$：$y' = -csc^2x$ 9. $y = secx$：$y' = secxtanx$ 10. $y = cscx$：$y' = -cscxcotx$ 11. $y = arcsinx$：$y' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 12. $y = arccosx$：$y' = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 13. $y = arctanx$：$y' = \frac{1}{1+x^2}$ 14. $y = arccotx$：$y' = -\frac{1}{1+x^2}$ 15. $y = e^x$：$y' = e^x$ 16. $y = ln|x|$：$(ln|x|)' = \frac{1}{x}$ ### 2、莱布尼茨求导公式 若 $u(x)$、$v(x)$ 均 $n$ 阶可导，则： $$(uv)^{(n)} = \sum_{i=0}^{n}C_{n}^{i}u^{(i)}v^{(n-i)}$$ （其中 $u^{(0)} = u$，$v^{(0)} = v$） ### 3、渐近线 #### 水平渐近线 若 $\lim_{x\to+\infty}f(x) = b$ 或 $\lim_{x\to-\infty}f(x) = b$，则 $y = b$ 为函数 $y = f(x)$ 的水平渐近线。 #### 垂直渐近线 若 $\lim_{x\to x_0^+}f(x) = \infty$ 或 $\lim_{x\to x_0^-}f(x) = \infty$，则 $x = x_0$ 为函数 $y = f(x)$ 的垂直渐近线。 #### 斜渐近线 若 $k = \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}$、$b = \lim_{x\to+\infty}[f(x) - kx]$（或 $k = \lim_{x\to-\infty}\frac{f(x)}{x}$、$b = \lim_{x\to-\infty}[f(x) - kx]$），则直线 $y = kx + b$ 是曲线 $y = f(x)$ 的斜渐近线。 ### 4、反函数求导公式 设 $y = f(x)$ 可导且 $f'(x) \neq 0$，则存在反函数 $x = \varphi(y)$，且： $$\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}, \quad \varphi'(y) = \frac{1}{f'(x)}$$ 若 $y = f(x)$ 二阶可导，记 $f'(x) = y_x'$、$\varphi'(y) = x_y'(x_y' \neq 0)$，则： $$y_{xx}'' = \frac{-x_{yy}''}{(x_y')^3}, \quad x_{yy}'' = \frac{-y_{xx}''}{(y_x')^3}$$ ### 5、复合函数求导法则 设 $u = g(x)$ 在点 $x$ 处可导，$y = f(u)$ 在点 $u = g(x)$ 处可导，则： $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$$ ### 6、隐函数求导法则 设函数 $y = y(x)$ 由方程 $F(x,y) = 0$ 确定且可导： 1. 方程 $F(x,y) = 0$ 两边对自变量 $x$ 求导，将 $y$ 看作中间变量，得到关于 $y'$ 的方程； 2. 解该方程求出 $y'$。 ### 7、参数方程求导公式 若曲线由参数方程 $\begin{cases}x = x(t), \\ y = y(t)\end{cases}$ 给出，则： $$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{y'(t)}{x'(t)} \quad (记为\varphi(t))$$ 二阶导数： $$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{\varphi'(t)}{x'(t)}$$ ### 8、切线、法线与截距 设 $y = y(x)$ 可导且 $y'(x) \neq 0$，相关结论如下： | 项目 | 方程 | 斜率 | |------------|---------------------------------------|--------------------| | 切线方程 | $y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0)$ | $k = y'(x_0)$ | | 法线方程 | $y - y_0 = -\frac{1}{y'(x_0)}(x - x_0)$| $k = -\frac{1}{y'(x_0)}$ | | 横截距 | $x_0 - \frac{y_0}{y'(x_0)}$ | - | | 纵截距 | $y_0 - x_0y'(x_0)$ | - | ### 9、弧微分与曲率公式 #### 弧微分 $$ds = \lim_{\Delta x\to0}\sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} = \begin{cases} \sqrt{1+y'^2}dx, & 曲线为y=f(x), \\ \sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt, & 曲线为\begin{cases}x=x(t), \\ y=y(t)\end{cases}, \\ \sqrt{r^2+r'^2}d\theta, & 曲线为r=r(\theta) \end{cases}$$ #### 曲率与曲率半径 设 $y(x)$ 二阶可导，则曲线 $y = y(x)$ 在点 $(x,y(x))$ 处的曲率： $$k = \frac{|y''|}{[1+(y')^2]^{\frac{3}{2}}}$$ 曲率半径： $$R = \frac{1}{k} = \frac{[1+(y')^2]^{\frac{3}{2}}}{|y''|} \quad (y'' \neq 0)$$ ### 10、微分中值定理 1. 有界与最值定理：$m \leq f(x) \leq M$（$m、M$ 分别为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值与最大值） 2. 介值定理：当 $m \leq \mu \leq M$ 时，存在 $\xi \in [a,b]$，使得 $f(\xi) = \mu$ 3. 平均值定理：当 $a &lt; x_1 &lt; x_2 &lt; \cdots &lt; x_n &lt; b$ 时，在 $[x_1,x_n]$ 上至少存在一点 $\xi$，使得： $$f(\xi) = \frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}$$ 4. 零点定理：当 $f(a) \cdot f(b) &lt; 0$ 时，存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $f(\xi) = 0$ 5. 费马定理：设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处满足：① 在 $x_0$ 某邻域内有定义；② 取极值，则 $f'(x_0) = 0$ 6. 罗尔定理：设 $f(x)$ 满足：① $[a,b]$ 上连续；② $(a,b)$ 内可导；③ $f(a) = f(b)$，则存在 $\xi \in (a,b)$，使得 $f'(\xi) = 0$ 7. 拉格朗日中值定理：设 $f(x)$ 满足：① $[a,b]$ 上连续；② $(a,b)$ 内可导，则存在 $\xi \in (a,b)$，使得： $$f(b) - f(a) = f'(\xi)(b - a) \quad 或 \quad f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ 8. 柯西中值定理：设 $f(x)$、$g(x)$ 满足：① $[a,b]$ 上连续；② $(a,b)$ 内可导；③ $g'(x) \neq 0$，则存在 $\xi \in (a,b)$，使得： $$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$$ ### 11、物理应用与相关变化率 1. 质点运动：位移 $x = x(t)$，速度 $v = \frac{dx}{dt}$，加速度 $a = \frac{dv}{dt} = v \cdot \frac{dv}{dx}$ 2. 相关变化率：若 $y = f(x)$ 由 $\begin{cases}y=y(t), x=x(t)\end{cases}$ 确定且可导，且 $y$ 对 $t$ 的变化率与 $x$ 对 $t$ 的变化率成正比，则： $$\frac{dy}{dt} = k\frac{dx}{dt}$$ ## 第三章 一元函数积分学 ### 1、基本积分公式 1. $\int x^kdx = \frac{x^{k+1}}{k+1} + C \quad (k \neq -1)$ 2. $\int\frac{1}{x}dx = ln|x| + C$ 3. $\int a^xdx = \frac{a^x}{lna} + C$ 4. $\int e^xdx = e^x + C$ 5. $\int sinxdx = -cosx + C$ 6. $\int cosxdx = sinx + C$ 7. $\int sec^2xdx = tanx + C$ 8. $\int csc^2xdx = -cotx + C$ 9. $\int secxtanxdx = secx + C$ 10. $\int cscxcotxdx = -cscx + C$ 11. $\int\frac{1}{a^2+x^2}dx = \frac{1}{a}arctan\frac{x}{a} + C$ 12. $\int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx = arcsin\frac{x}{a} + C$ 13. $\int\frac{1}{a^2-x^2}dx = \frac{1}{2a}ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right| + C$ 14. $\int\frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}dx = ln\left|x + \sqrt{x^2\pm a^2}\right| + C$ 15. $\int secxdx = ln|secx + tanx| + C$ 16. $\int cscxdx = ln|cscx - cotx| + C$ 17. $\int tanxdx = -ln|cosx| + C$ 18. $\int cotxdx = ln|sinx| + C$ ### 2、常见的几种凑微分形式 1. $\int f(ax+b)dx = \frac{1}{a}\int f(ax+b)d(ax+b) \quad (a \neq 0)$ 2. $\int f(ax^n+b)x^{n-1}dx = \frac{1}{na}\int f(ax^n+b)d(ax^n+b) \quad (a \neq 0)$ 3. $\int f(e^x)e^xdx = \int f(e^x)de^x$ 4. $\int\frac{f(\frac{1}{x})}{x^2}dx = -\int f(\frac{1}{x})d(\frac{1}{x})$ 5. $\int\frac{f(lnx)}{x}dx = \int f(lnx)d(lnx)$ 6. $\int\frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}}dx = 2\int f(\sqrt{x})d(\sqrt{x})$ 7. $\int f(sinx)cosxdx = \int f(sinx)dsinx$ 8. $\int f(cosx)sinxdx = -\int f(cosx)dcosx$ 9. $\int f(tanx)sec^2xdx = \int f(tanx)dtanx$ 10. $\int f(cotx)csc^2xdx = -\int f(cotx)dcotx$ 11. $\int\frac{f(arcsinx)}{\sqrt{1-x^2}}dx = \int f(arcsinx)darcsinx$ 12. $\int\frac{f(arctanx)}{1+x^2}dx = \int f(arctanx)darctanx$ ### 3、定积分重要公式 #### 区间再现公式 $$\int_a^bf(x)dx = \int_a^bf(a+b-x)dx$$ $$\int_a^bf(x)dx = \frac{1}{2}\int_a^b[f(x)+f(a+b-x)]dx$$ $$\int_a^bf(x)dx = \int_a^{\frac{a+b}{2}}[f(x)+f(a+b-x)]dx$$ $$\int_{-a}^af(x)dx = \int_0^a[f(x)+f(-x)]dx \quad (a>0)$$ $$\int_0^\pi xf(sinx)dx = \frac{\pi}{2}\int_0^\pi f(sinx)dx$$ $$\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(sinx,cosx)dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}}f(cosx,sinx)dx$$ $$\int_a^bf(x)dx = \int_0^1(b-a)f[a+(b-a)t]dt$$ #### 华里士公式（Wallis公式） $$\int_0^{\frac{\pi}{2}}sin^nxdx = \int_0^{\frac{\pi}{2}}cos^nxdx = \begin{cases} \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot\cdots\cdot\frac{2}{3}\cdot1, & n为大于1的奇数, \\ \frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot\cdots\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}, & n为正偶数 \end{cases}$$ $$\int_0^\pi sin^nxdx = \begin{cases} 2\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot\cdots\cdot\frac{2}{3}\cdot1, & n为大于1的奇数, \\ 2\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot\cdots\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}, & n为正偶数 \end{cases}$$ $$\int_0^\pi cos^nxdx = \begin{cases} 0, & n为正奇数, \\ 2\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot\cdots\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}, & n为正偶数 \end{cases}$$ $$\int_0^{2\pi}sin^nxdx = \int_0^{2\pi}cos^nxdx = \begin{cases} 0, & n为正奇数, \\ 4\cdot\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdot\cdots\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}, & n为正偶数 \end{cases}$$ ### 4、常见反常积分及判敛 $$\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx = \begin{cases}收敛, & p>1 \\ 发散, & p\leq1\end{cases}$$ $$\int_2^{+\infty}\frac{1}{xln^px}dx = \begin{cases}收敛, & p>1 \\ 发散, & p\leq1\end{cases}$$ $$\int_0^1\frac{1}{x^p}dx = \begin{cases}收敛, & p&lt;1 \\ 发散, & p\geq1\end{cases}$$ - $\int_1^{+\infty}x^ke^{-px}dx$（$k$ 为任意常数，$p>0$）：均收敛 - $\int_1^{+\infty}\frac{ln^kx}{x^p}dx$（$k$ 为任意常数，$p>1$）：均收敛 ### 5、定积分的精确定义（和式极限） $$\int_a^bf(x)dx = \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}f\left(a + \frac{b-a}{n}i\right)\frac{b-a}{n}$$ ### 6、变限积分求导公式 $$\left[\int_a^{\varphi(x)}f(t)dt\right]_x' = f[\varphi(x)] \cdot \varphi'(x)$$ $$\left[\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(t)dt\right]_x' = f[\varphi_2(x)]\cdot\varphi_2'(x) - f[\varphi_1(x)]\varphi_1'(x)$$ ### 7、积分的不等式 1. 保号性：若 $f(x) \leq g(x)$，则 $\int_a^bf(x)dx \leq \int_a^bg(x)dx \quad (b>a)$ 2. 估值定理：若 $m \leq f(x) \leq M$，则 $m(b-a) \leq \int_a^bf(x)dx \leq M(b-a) \quad (b>a)$ 3. 绝对值不等式：$\left|\int_a^bf(x)dx\right| \leq \int_a^b|f(x)|dx \quad (b>a)$ 4. 柯西不等式：设 $f(x)$、$g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则： $$\left(\int_a^bf(x)g(x)dx\right)^2 \leq \int_a^bf^2(x)dx\int_a^bg^2(x)dx$$ ### 8、面积公式 #### 直角坐标系下 $$S = \int_a^b|f_1(x) - f_2(x)|dx$$ #### 极坐标系下 $$S = \int_\alpha^\beta\frac{1}{2}|r_2^2(\theta) - r_1^2(\theta)|d\theta$$ #### 参数方程下 曲线由 $\begin{cases}x=x(t), \\ y=y(t)\end{cases}$ 给出，曲边梯形面积： $$S = \int_a^bydx = \int_\alpha^\beta y(t) \cdot x'(t)dt$$ ### 9、旋转体体积 #### 直角坐标系下 - 绕 $x$ 轴旋转：$V_x = \pi\int_a^by^2(x)dx$ - 绕 $y$ 轴旋转：$V_y = 2\pi\int_a^bx|y(x)|dx$ #### 二重积分法 平面域 $D$ 绕直线 $L:ax+by+c=0$（不穿过 $D$）旋转，体积： $$V = 2\pi\iint_D\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}d\sigma$$ （其中 $\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 为点 $(x,y)$ 到直线 $L$ 的距离） #### 极坐标系下 平面图形 $D = \{(r,\theta)|0 \leq r \leq r(\theta), \theta \in [\alpha,\beta] \subset [0,\pi]\}$，绕极轴旋转： $$V = \frac{2}{3}\pi\int_\alpha^\beta r^3(\theta)sin\theta d\theta$$ ### 10、旋转曲面面积（侧面积） 1. 曲线 $y = y(x)$（$[a,b]$）绕 $x$ 轴旋转： $$S = 2\pi\int_a^b|y(x)|\sqrt{1+[y'(x)]^2}dx$$ 2. 曲线 $r = r(\theta)$（$[\alpha,\beta]$）绕 $x$ 轴旋转： $$S = 2\pi\int_\alpha^\beta|r(\theta)sin\theta|\sqrt{[r(\theta)]^2+[r'(\theta)]^2}d\theta$$ 3. 曲线 $\begin{cases}x=x(t), \\ y=y(t)\end{cases}$（$\alpha \leq t \leq \beta$，$x'(t) \neq 0$）绕 $x$ 轴旋转： $$S = 2\pi\int_\alpha^\beta|y(t)|\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt$$ ### 11、平面曲线弧长公式 1. 直角坐标方程 $y = y(x)$（$a \leq x \leq b$）： $$s = \int_a^b\sqrt{1+[y'(x)]^2}dx$$ 2. 极坐标方程 $r = r(\theta)$（$\alpha \leq \theta \leq \beta$）： $$s = \int_\alpha^\beta\sqrt{[r(\theta)]^2+[r'(\theta)]^2}d\theta$$ 3. 参数方程 $\begin{cases}x=x(t), \\ y=y(t)\end{cases}$（$\alpha \leq t \leq \beta$）： $$s = \int_\alpha^\beta\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt$$ ### 12、质心形心公式 | 类型 | 质心 $(\overline{x},\overline{y})$ 或 $(\overline{x},\overline{y},\overline{z})$ | |------|-----------------------------------------------------------------------------| | 曲线 $L$（线密度 $\rho$） | $\overline{x} = \frac{\int_Lx\rho ds}{\int_L\rho ds}, \quad \overline{y} = \frac{\int_Ly\rho ds}{\int_L\rho ds}$ | | 平面图形 $D$（面密度 $\rho(x,y)$） | $\overline{x} = \frac{\iint_Dx\rho(x,y)dxdy}{\iint_D\rho(x,y)dxdy}, \quad \overline{y} = \frac{\iint_Dy\rho(x,y)dxdy}{\iint_D\rho(x,y)dxdy}$ | | 空间区域 $\Omega$（体密度 $\mu(x,y,z)$） | $\overline{x} = \frac{\iiint_\Omega x\mu dxdydz}{\iiint_\Omega\mu dxdydz}, \quad \overline{y} = \frac{\iiint_\Omega y\mu dxdydz}{\iiint_\Omega\mu dxdydz}, \quad \overline{z} = \frac{\iiint_\Omega z\mu dxdydz}{\iiint_\Omega\mu dxdydz}$ | > 注：密度均匀（密度为常数）的物体的质心即为形心 ### 13、平均值 $$\overline{f} = \frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx$$ ### 14、物理应用 #### 变力沿直线做功 力函数 $F(x)$（方向沿 $x$ 轴正向），物体从 $a$ 移动到 $b$ 时做功： $$W = \int_a^bF(x)dx$$ （功的元素 $dW = F(x)dx$） #### 抽水做功 将容器中的水全部抽出所做功（$\rho$ 为水的密度，$g$ 为重力加速度）： $$W = \rho g\int_a^bxA(x)dx$$ （功的元素 $dW = \rho gxA(x)dx$，$A(x)$ 为 $x$ 处水平截面面积） #### 水压力 垂直浸没在水中的平板一侧受到的水压力（$\rho$ 为水的密度，$g$ 为重力加速度）： $$P = \rho g\int_a^bx[f(x)-h(x)]dx$$ （压力元素 $dP = \rho gx[f(x)-h(x)]dx$，$x$ 为水深，$f(x)-h(x)$ 为平板宽度） ## 第四章 微分方程 ### 1、可分离变量方程 $$f_1(x)g_1(y)dx+f_2(x)g_2(y)dy=0$$ 1. 分离变量：两边同除 $g_1(y)f_2(x)\neq0$，得： $$\frac{f_1(x)}{f_2(x)}dx+\frac{g_2(y)}{g_1(y)}dy=0$$ 2. 两边积分即可求得通解。 ### 2、齐次方程 $$y'=f\left(\frac{y}{x}\right)$$ 1. 变量代换：令 $u=\frac{y}{x}$，则 $y=ux$，$y'=u+x\frac{du}{dx}$； 2. 方程转化：原方程化为： $$u+x\frac{du}{dx}=f(u)\Rightarrow\frac{du}{f(u)-u}=\frac{dx}{x}$$ 3. 积分求解： $$\int\frac{du}{f(u)-u}=\ln|x|+C$$ 4. 回代：以 $\frac{y}{x}$ 代替 $u$，得齐次方程通解。 ### 3、一阶线性方程 $$y'+p(x)y=q(x)$$ 通解公式： $$y=\left[\int q(x)e^{\int p(x)dx}dx+C\right]e^{-\int p(x)dx}$$ ### 4、伯努利方程 1. 变量代换：令 $z=y^{1-n}$； 2. 方程转化：原方程化为一阶线性方程： $$\frac{1}{1-n}\frac{dz}{dx}+p(x)z=q(x)\Rightarrow\frac{dz}{dx}+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x)$$ 3. 求解：代入一阶线性方程通解公式，再回代 $z=y^{1-n}$。 ### 5、全微分方程 $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$$ 1. 判定条件： $$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0为全微分方程\Leftrightarrow\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$ ### 6、二阶常系数线性齐次微分方程 $$y''+py'+qy=0$$（$p,q$ 均为常数） 1. 特征方程： $$\lambda^2+p\lambda+q=0$$ 2. 通解形式： - 当 $\lambda_1,\lambda_2$ 为互异实根时：$y(x)=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$； - 当 $\lambda_1=\lambda_2$ 为二重实根时：$y(x)=(C_1+C_2x)e^{\lambda_1x}$； - 当 $\lambda=\alpha\pm i\beta$（复根）时：$y(x)=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$。 ### 7、二阶常系数线性非齐次微分方程 $$y''+py'+qy=f(x)$$（$p,q$ 均为常数） 1. 通解求解步骤： 2. 求对应齐次方程的通解 $Y(x)$； 3. 用待定系数法求非齐次方程的特解 $y^*(x)$； 4. 通解为：$y=y^*(x)+Y(x)$。 ### 8、二阶常系数非齐次线性方程的特解形式 | $y''+py'+qy=f(x)$ | 特解 $y^*(x)$ 的形式 | | ------------------------------------------------------------ | ----------------------------------------------------------- | | $f(x)=P_n(x)e^{ax}$（$P_n(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式） | - $a$ 不是特征根：$y^*(x)=R_n(x)e^{ax}$；<br>- $a$ 是特征方程单根：$y^*(x)=xR_n(x)e^{ax}$；<br>- $a$ 是特征方程重根：$y^*(x)=x^2R_n(x)e^{ax}$；<br>（$R_n(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式） | | $f(x)=P_n(x)e^{ax}\sin\beta x$ 或 $f(x)=P_n(x)e^{ax}\cos\beta x$（$P_n(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 次多项式） | $y^*(x)=x^ke^{\alpha x}[Q_n(x)\cos\beta x+W_n(x)\sin\beta x]$<br>- $\alpha\pm i\beta$ 不是特征根：$k=0$；<br>- $\alpha\pm i\beta$ 是特征根：$k=1$；<br>（$Q_n(x),W_n(x)$ 为 $n$ 次多项式的一般形式） | ### 9、二阶可降阶微分方程 #### （1）$y''=f(x,y')$ 或 $y''=f(y')$（缺 $y$ 型） 1. 变量代换：令 $y'=p$，则 $y''=p'$； 2. 方程转化：原方程变为一阶方程 $\frac{dp}{dx}=f(x,p)$ 或 $\frac{dp}{dx}=f(p)$； 3. 积分求解： - 若求得通解 $p=\varphi(x,C_1)$，即 $y'=\varphi(x,C_1)$； - 原方程通解：$y=\int\varphi(x,C_1)dx+C_2$。 #### （2）$y''=f(y,y')$（缺 $x$ 型） 1. 变量代换：令 $y'=p$，则 $y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot p$； 2. 方程转化：原方程变为一阶方程 $p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$； 3. 积分求解： - 若求得通解 $p=\varphi(y,C_1)$，即 $\frac{dy}{dx}=\varphi(y,C_1)$； - 分离变量：$\frac{dy}{\varphi(y,C_1)}=dx$； - 两边积分：$\int\frac{dy}{\varphi(y,C_1)}=x+C_2$，得原方程通解。 ### 10、二阶以上的常系数线性齐次微分方程 一般形式： $$y^{(n)}+p_1y^{(n-1)}+p_2y^{(n-2)}+\cdots+p_{n-1}y'+p_ny=0$$（$p_i(i=1,2,\cdots,n)$ 为常数） 1. 特征方程： $$\lambda^n+p_1\lambda^{n-1}+p_2\lambda^{n-2}+\cdots+p_{n-1}\lambda+p_n=0$$ 2. 通解形式： - 若有 $n$ 个不同实根 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$：$y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}+\cdots+C_ne^{\lambda_nx}$； - 若 $\lambda_0$ 为 $k$ 重实根（$k\leq n$）：通解含 $(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1})e^{\lambda_0x}$； - 若 $\alpha\pm i\beta$ 为 $k$ 重共轭复根（$2k\leq n$）：通解含： $$e^{\alpha x}\left[(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1})\cos\beta x+(D_1+D_2x+\cdots+D_kx^{k-1})\sin\beta x\right]$$ ### 11、欧拉方程 $$x^2y''+axy'+by=f(x)$$（$a,b$ 为常数） 1. 变量代换（$x>0$）：令 $x=e^t$，则： $$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\cdot\frac{dy}{dt}, \quad \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{x^2}\left(\frac{d^2y}{dt^2}-\frac{dy}{dt}\right)$$ 2. 方程转化：原方程变为二阶线性常系数微分方程： $$\frac{d^2y}{dt^2}+(a-1)\frac{dy}{dt}+by=f(e^t)$$ 3. 求解：求解后回代 $t=\ln x$；$x&lt;0$ 时，令 $x=-e^t$，类似求解。 ## 第五章 多元微分 ### 1、偏导数定义 $$f_x'(x,y)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x}$$ $$f_y'(x,y)=\lim_{\Delta y\to 0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y}$$ ### 2、可微判定步骤 1. 写出全增量：$\Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)$； 2. 写出线性增量：$A\Delta x+B\Delta y$（其中 $A=f_x'(x_0,y_0)$，$B=f_y'(x_0,y_0)$）； 3. 计算极限： $$\lim_{\substack{\Delta x\to 0 \\ \Delta y\to 0}}\frac{\Delta z-(A\Delta x+B\Delta y)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}$$ - 若极限为 $0$，则 $z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微；否则不可微。 ### 3、链式求导规则 1. 一元复合函数：设 $y=f(u)$，$u=g(x)$，则： $$\frac{dy}{dx}=\frac{df[g(x)]}{d[g(x)]}\cdot\frac{d[g(x)]}{dx}$$ 2. 二元复合函数（$z=f(u,v)$，$u=u(x,y)$，$v=v(x,y)$）： $$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}$$ $$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial y}$$ 3. 全导数（$z=f(u,v)$，$u=u(t)$，$v=v(t)$）： $$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{dv}{dt}$$ ### 4、隐函数求导法 （以下函数偏导数均连续） #### （1）一个方程的情形（$F(x,y,z)=0$） 设 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 满足： 1. $F(P_0)=0$； 2. $F_z'(P_0)\neq0$； 则在 $P_0$ 某邻域内可确定 $z=z(x,y)$，且： $$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x'}{F_z'}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y'}{F_z'}$$ #### （2）方程组的情形（$\begin{cases}F(x,y,z)=0 \\ G(x,y,z)=0\end{cases}$） 当雅可比行列式 $\frac{\partial(F,G)}{\partial(y,z)}=\begin{vmatrix}\frac{\partial F}{\partial y}&\frac{\partial F}{\partial z}\\\frac{\partial G}{\partial y}&\frac{\partial G}{\partial z}\end{vmatrix}\neq0$ 时，可确定 $\begin{cases}y=y(x) \\ z=z(x)\end{cases}$，且： $$\frac{dy}{dx}=-\frac{\begin{vmatrix}\frac{\partial F}{\partial x}&\frac{\partial F}{\partial z}\\\frac{\partial G}{\partial x}&\frac{\partial G}{\partial z}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\frac{\partial F}{\partial y}&\frac{\partial F}{\partial z}\\\frac{\partial G}{\partial y}&\frac{\partial G}{\partial z}\end{vmatrix}}, \quad \frac{dz}{dx}=-\frac{\begin{vmatrix}\frac{\partial F}{\partial y}&\frac{\partial F}{\partial x}\\\frac{\partial G}{\partial y}&\frac{\partial G}{\partial x}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\frac{\partial F}{\partial y}&\frac{\partial F}{\partial z}\\\frac{\partial G}{\partial y}&\frac{\partial G}{\partial z}\end{vmatrix}}$$ ### 5、全微分形式不变性 设 $z=f(u,v)$，$u=u(x,y)$，$v=v(x,y)$，若 $f(u,v)$、$u(x,y)$、$v(x,y)$ 均有连续偏导数，则： $$dz=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv$$ 无论 $u,v$ 是自变量还是中间变量，上式恒成立。 ### 6、二元函数取极值的充分条件（无条件极值） 设 $z=f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 某邻域内有连续二阶偏导数，且： $$f_x'(x_0,y_0)=0, \quad f_y'(x_0,y_0)=0$$ 令 $A=f_{xx}''(x_0,y_0)$，$B=f_{xy}''(x_0,y_0)$，$C=f_{yy}''(x_0,y_0)$，则： 1. 若 $AC-B^2>0$：$(x_0,y_0)$ 是极值点，$A>0$ 时为极小值点，$A&lt;0$ 时为极大值点； 2. 若 $AC-B^2&lt;0$：$(x_0,y_0)$ 不是极值点； 3. 若 $AC-B^2=0$：无法判定，需用极值定义判断。 ### 7、条件极值与拉氏乘数法 求目标函数 $u=f(x,y,z)$ 在约束条件 $\begin{cases}\varphi(x,y,z)=0 \\ \psi(x,y,z)=0\end{cases}$ 下的最值步骤： 1. 构造辅助函数： $$F(x,y,z,\lambda,\mu)=f(x,y,z)+\lambda\varphi(x,y,z)+\mu\psi(x,y,z)$$ 2. 令辅助函数各偏导数为 $0$，建立方程组（自变量个数=目标函数自变量个数+约束条件个数）； 3. 解方程组得备选点 $P_i(i=1,2,\cdots,n)$，计算 $f(P_i)$，最大值为 $u_{max}$，最小值为 $u_{min}$； 4. 结合实际问题，若必存在最值，所得即为所求。 ## 第六章 二重积分 ### 1、几个重要边界曲线 - 心形线：$r=a(1-\cos\theta)$，$r=a(1+\cos\theta)$； - 双纽线：$r^2=\cos2\theta$； - 摆线：$\begin{cases}x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t)\end{cases}$； - 星形线：$\begin{cases}x=a\cos^3t \\ y=a\sin^3t\end{cases}$； - 螺旋线：$r=a\theta$。 ### 2、不同坐标系下的表示 - 直角坐标系： $$\iint_D f(x,y)d\sigma=\iint_D f(x,y)dxdy$$ - 极坐标系： $$\iint_D f(x,y)d\sigma=\iint_D f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta$$ ### 3、二重积分的普通对称性 1. 若 $D$ 关于 $x$ 轴对称： $$\iint_D f(x,y)d\sigma= \begin{cases}0, & f(x,-y)=-f(x,y) \\ 2\iint_{D_1} f(x,y)d\sigma, & f(x,-y)=f(x,y)\end{cases}$$ （$D_1$ 为 $D$ 在 $y\geq0$ 的部分）； 2. 若 $D$ 关于 $y$ 轴对称： $$\iint_D f(x,y)d\sigma= \begin{cases}0, & f(-x,y)=-f(x,y) \\ 2\iint_{D_1} f(x,y)d\sigma, & f(-x,y)=f(x,y)\end{cases}$$ （$D_1$ 为 $D$ 在 $x\geq0$ 的部分）； 3. 若 $D$ 关于直线 $y=x$ 对称： $$\iint_D f(x,y)d\sigma=\iint_D f(y,x)d\sigma=\frac{1}{2}\iint_D(f(x,y)+f(y,x))d\sigma$$ ### 4、轮换对称性 若将 $D$ 中 $x,y$ 对调后 $D$ 不变，则： $$I=\iint_D f(x,y)dxdy=\iint_D f(y,x)dxdy$$ ### 5、和式极限 （$D$ 为长方形区域 $[a,b]\times[c,d]$） $$\iint_D f(x,y)d\sigma=\lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}f\left(a+\frac{b-a}{n}i,c+\frac{d-c}{n}j\right)\cdot\frac{b-a}{n}\cdot\frac{d-c}{n}$$ ### 6、几何物理应用 1. 柱体体积（曲顶 $z=z(x,y)$，$(x,y)\in D_{xy}$）： $$V=\iint_{D_{xy}}|z(x,y)|d\sigma$$ 2. 总质量（面密度 $\rho(x,y)$）： $$m=\iint_D \rho(x,y)d\sigma$$ 3. 重心坐标： $$\overline{x}=\frac{\iint_D x\rho(x,y)d\sigma}{\iint_D \rho(x,y)d\sigma}, \quad \overline{y}=\frac{\iint_D y\rho(x,y)d\sigma}{\iint_D \rho(x,y)d\sigma}$$ ## 第七章 无穷级数 ### 1、数项级数的性质 1. 设 $c\neq0$ 为常数，则 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty}cu_n$ 敛散性相同； 2. 设 $\sum_{n=1}^{\infty}u_n=s$，$\sum_{n=1}^{\infty}v_n=\sigma$，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(u_n\pm v_n)=s\pm\sigma$；若 $\sum u_n$ 收敛、$\sum v_n$ 发散，则 $\sum(u_n\pm v_n)$ 发散；若 $\sum u_n$、$\sum v_n$ 均发散，则 $\sum(u_n\pm v_n)$ 敛散性不定； 3. 添加、去掉或改变有限项不影响级数敛散性； 4. 收敛级数任意加括号后仍收敛于原和；加括号后发散则原级数发散；加括号后收敛则原级数敛散性不定； 5. 级数收敛的必要条件：$\lim_{n\to \infty}u_n=0$。 ### 2、常见级数的敛散性 1. 等比级数 $\sum_{n=1}^{\infty}aq^{n-1}$： - $|q|&lt;1$ 收敛，和为 $\frac{a}{1-q}$；$|q|\geq1$ 发散； 2. $p$-级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}$： - $p>1$ 收敛；$p\leq1$ 发散； 3. 对数 $p$-级数 $\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln^pn}$： - $p>1$ 收敛；$p\leq1$ 发散。 ### 3、正项级数的敛散性判别方法 1. 比较判别法： 设 $0\leq u_n\leq v_n$，若 $\sum v_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 收敛；若 $\sum u_n$ 发散，则 $\sum v_n$ 发散； 2. 比较判别法的极限形式： 设 $\sum u_n$、$\sum v_n$ 为正项级数，$\lim_{n\to \infty}\frac{u_n}{v_n}=A(v_n\neq0)$： - 若 $0\leq A&lt;+\infty$ 且 $\sum v_n$ 收敛，则 $\sum u_n$ 收敛； - 若 $0<A\leq+\infty$ 且 $\sum v_n$ 发散，则 $\sum u_n$ 发散； 3. 比值判别法（达朗贝尔准则）： （适用于 $u_n$ 含 $n!$ 或连乘形式）设 $u_n\geq0$，$\lim_{n\to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$： $$\rho\begin{cases}>1 & 发散 \\ =1 & 失效 \\ &lt;1 & 收敛\end{cases}$$ 4. 根值判别法： （适用于 $u_n$ 含 $n$ 次指数幂）设 $u_n\geq0$，$\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho$： $$\rho\begin{cases}>1 & 发散 \\ =1 & 失效 \\ &lt;1 & 收敛\end{cases}$$ ### 4、交错级数判敛方法（莱布尼茨准则） 设交错级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n(u_n>0)$ 满足： 1. $u_n\geq u_{n+1}(n=1,2,\cdots)$； 2. $\lim_{n\to \infty}u_n=0$； 则级数收敛，其和 $S\leq u_1$，余项 $|R_n|\leq u_{n+1}$。 ### 5、幂级数收敛半径、收敛区间 设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$，系数当 $n\geq N$ 时 $a_n\neq0$，且 $\lim_{n\to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho$： 1. 收敛半径： $$R=\begin{cases}1/\rho & \rho\neq0 \\ +\infty & \rho=0 \\ 0 & \rho=+\infty\end{cases}$$ 2. 收敛区间：$(-R,R)$。 #### 阿贝尔定理 - 若幂级数在 $x=x_1(x_1\neq0)$ 处收敛，则对 $|x|&lt;|x_1|$ 的一切 $x$，幂级数绝对收敛； - 若幂级数在 $x=x_2(x_2\neq0)$ 处发散，则对 $|x|>|x_2|$ 的一切 $x$，幂级数发散。 ### 6、常用的函数展开式 #### 整式型 1. $\sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}$，$x\in(-1,1)$； 2. $\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n=\frac{1}{(1-x)^2}$，$x\in(-1,1)$； 3. $\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)x^n=\frac{2}{(1-x)^3}$，$x\in(-1,1)$。 #### 分式型 1. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}=-\ln(1-x)$，$x\in[-1,1)$； 2. $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{n}=-\ln(1+x)$，$x\in(-1,1]$； 3. $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}=\arctan x$，$x\in(-1,1)$； 4. $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{2n-1}}{2n-1}=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x}$，$x\in(-1,1)$。 #### 阶乘型 1. $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=e^x$，$x\in\mathbb{R}$； 2. $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^n}{n!}=e^{-x}$，$x\in\mathbb{R}$； 3. $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$，$x\in\mathbb{R}$； 4. $\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{2n}}{(2n)!}=\frac{1}{2}(e^x+e^{-x})$，$x\in\mathbb{R}$； 5. $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sin x$，$x\in\mathbb{R}$； 6. $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=\cos x$，$x\in\mathbb{R}$。 ### 7、级数的角标变化总结 1. 只变 $x$ 的幂次：乘除 $x$，例：$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{n}=\frac{1}{x}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}(x\neq0)$； 2. 通项、下标一起变化：例：$\sum_{n=1}^{\infty}a_nx^n=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+1}x^{n+1}=\sum_{n=2}^{\infty}a_{n-1}x^{n-1}$。 ### 8、傅里叶级数狄利克雷收敛定理 设 $f(x)$ 以 $2l$ 为周期，在 $[-l,l]$ 上满足： 1. 除有限个第一类间断点外连续； 2. 只有有限个极值点； 则 $f(x)$ 的傅里叶级数收敛，和函数： $$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right)$$ $$s(x)= \begin{cases}f(x), & x为连续点 \\ \frac{1}{2}[f(x-0)+f(x+0)], & x为间断点\end{cases}$$ ### 9、傅里叶级数系数公式 $$\begin{cases}a_0=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)dx \\ a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}dx, \quad n=1,2,\cdots \\ b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}dx, \quad n=1,2,\cdots\end{cases}$$ 1. 若 $f(x)$ 为奇函数（正弦级数）： $$f(x)\sim \sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin\frac{n\pi x}{l}, \quad b_n=\frac{2}{l}\int_{0}^l f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}dx$$ 2. 若 $f(x)$ 为偶函数（余弦级数）： $$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos\frac{n\pi x}{l}$$ $$a_0=\frac{2}{l}\int_{0}^l f(x)dx, \quad a_n=\frac{2}{l}\int_{0}^l f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}dx, \quad n=1,2,\cdots$$ ## 第八章 向量代数、空间几何与场论初步 ### 1、向量代数运算 #### (1)向量$\boldsymbol{a}$的方向余弦 设向量的坐标表示为 $\boldsymbol{a}=x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}=(x,y,z)$ $$\cos\alpha=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\ \cos\beta=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}},\ \cos\gamma=\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$$ #### (2)数量积(点积,内积) 设 $\boldsymbol{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$\boldsymbol{b}=(x_2,y_2,z_2)$，则向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的数量积为 $$\boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos(\widehat{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}})=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$$ #### (3)向量积(叉积,外积) 设两向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$，若存在一个向量$\boldsymbol{c}$，满足条件： 1. $|\boldsymbol{c}|=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin(\widehat{\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}})$； 2. $\boldsymbol{c}\perp \boldsymbol{a},\ \boldsymbol{c}\perp \boldsymbol{b}$，即$\boldsymbol{c}$垂直于$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$所确定的平面； 3. $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$成右手系。 则向量$\boldsymbol{c}$称为向量$\boldsymbol{a}$与$\boldsymbol{b}$的向量积，记为 $\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}$，利用坐标可表示为 $$\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}=\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}y_1&z_1\\y_2&z_2\end{vmatrix}\boldsymbol{i}-\begin{vmatrix}x_1&z_1\\x_2&z_2\end{vmatrix}\boldsymbol{j}+\begin{vmatrix}x_1&y_1\\x_2&y_2\end{vmatrix}\boldsymbol{k}$$ #### (4)混合积 设有三个向量 $\boldsymbol{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$\boldsymbol{b}=(x_2,y_2,z_2)$，$\boldsymbol{c}=(x_3,y_3,z_3)$，先作$\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}$ 的向量积 $\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b}$，再与 $\boldsymbol{c}$ 作数量积 $(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{c}$，则其称为 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 的混合积，记为 $[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]$，利用坐标可表示为 $$[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]=(\boldsymbol{a}\times \boldsymbol{b})\cdot \boldsymbol{c}=\begin{vmatrix}x_1&y_1&z_1\\x_2&y_2&z_2\\x_3&y_3&z_3\end{vmatrix}$$ 【注】$|[\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}]|$ 表示以 $\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}$ 为棱的平行六面体体积，注意不要忘记绝对值号。 ### 2、直线与平面方程 #### (1)平面方程 - 一般式：$Ax+By+Cz+D=0$ - 点法式：$A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0$，平面过$(x_0,y_0,z_0)$点，法向量为$\boldsymbol{n}=(A,B,C)$ - 截距式：$$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$$ #### (2)空间直线方程 - 一般式：$$\begin{cases}A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0\end{cases}$$ - 参数式：$$\begin{cases}x=x_0+lt \\ y=y_0+mt \\ z=z_0+nt\end{cases}$$，过$(x_0,y_0,z_0)$，方向向量为$\boldsymbol{s}=(l,m,n)$ - 标准式(对称式)：$$\frac{x-x_0}{l}=\frac{y-y_0}{m}=\frac{z-z_0}{n}$$，过$(x_0,y_0,z_0)$，方向向量为$\boldsymbol{s}=(l,m,n)$ #### (3)平面间、直线间、直线与平面间关系 设平面$\pi_1,\pi_2$，直线$L_1,L_2$方程如下： 平面1：$A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$，法向量$\boldsymbol{n}_1=(A_1,B_1,C_1)$ 平面2：$A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$，法向量$\boldsymbol{n}_2=(A_2,B_2,C_2)$ 直线$L_1:\displaystyle\frac{x-x_1}{l_1}=\frac{y-y_1}{m_1}=\frac{z-z_1}{n_1},\ \boldsymbol{s}_1=(l_1,m_1,n_1)$ 直线$L_2:\displaystyle\frac{x-x_2}{l_2}=\frac{y-y_2}{m_2}=\frac{z-z_2}{n_2},\ \boldsymbol{s}_2=(l_2,m_2,n_2)$ ##### 1)两平面$\pi_1,\pi_2$间的位置关系 1. $\pi_1\parallel\pi_2\Leftrightarrow \boldsymbol{n}_1\parallel \boldsymbol{n}_2\Leftrightarrow\displaystyle\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}\Leftrightarrow \boldsymbol{n}_1\times \boldsymbol{n}_2=\boldsymbol{0}$ 2. $\pi_1\perp\pi_2\Leftrightarrow \boldsymbol{n}_1\perp \boldsymbol{n}_2\Leftrightarrow A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2=0\Leftrightarrow \boldsymbol{n}_1\cdot \boldsymbol{n}_2=0$ 平面$\pi_1,\pi_2$间的夹角$\theta(0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2})$为 $$\cos\theta=\frac{|\boldsymbol{n}_1\cdot \boldsymbol{n}_2|}{|\boldsymbol{n}_1||\boldsymbol{n}_2|}=\frac{|A_1A_2+B_1B_2+C_1C_2|}{\sqrt{A_1^2+B_1^2+C_1^2}\sqrt{A_2^2+B_2^2+C_2^2}}$$ ##### 2)两直线$L_1,L_2$间的位置关系 1. $L_1\parallel L_2\Leftrightarrow \boldsymbol{s}_1\parallel \boldsymbol{s}_2\Leftrightarrow\displaystyle\frac{l_1}{l_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{n_1}{n_2}\Leftrightarrow \boldsymbol{s}_1\times \boldsymbol{s}_2=\boldsymbol{0}$ 2. $L_1\perp L_2\Leftrightarrow \boldsymbol{s}_1\perp \boldsymbol{s}_2\Leftrightarrow l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2=0\Leftrightarrow \boldsymbol{s}_1\cdot \boldsymbol{s}_2=0$ 直线$L_1,L_2$间的夹角$\theta(0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2})$为 $$\cos\theta=\frac{|\boldsymbol{s}_1\cdot \boldsymbol{s}_2|}{|\boldsymbol{s}_1||\boldsymbol{s}_2|}=\frac{|l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2|}{\sqrt{l_1^2+m_1^2+n_1^2}\sqrt{l_2^2+m_2^2+n_2^2}}$$ ##### 3)直线$L_1$与平面$\pi_1$间的位置关系 1. $L_1\parallel\pi_1\Leftrightarrow \boldsymbol{s}_1\perp \boldsymbol{n}_1\Leftrightarrow A_1l_1+B_1m_1+C_1n_1=0\Leftrightarrow \boldsymbol{s}_1\cdot \boldsymbol{n}_1=0$ 2. $L_1\perp\pi_1\Leftrightarrow \boldsymbol{s}_1\parallel \boldsymbol{n}_1\Leftrightarrow\displaystyle\frac{A_1}{l_1}=\frac{B_1}{m_1}=\frac{C_1}{n_1}\Leftrightarrow \boldsymbol{s}_1\times \boldsymbol{n}_1=\boldsymbol{0}$ 直线$L_1$与平面$\pi_1$间的夹角$\theta(0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2})$为 $$\sin\theta=\frac{|\boldsymbol{s}_1\cdot \boldsymbol{n}_1|}{|\boldsymbol{s}_1||\boldsymbol{n}_1|}$$ #### (4)点到平面的距离 点$M(x_0,y_0,z_0)$到平面$Ax+By+Cz+D=0$的距离 $$d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$ ### 3、空间曲线与二次曲面 #### (1)旋转曲面 设$L$是平面$zOx$上的一条曲线，其方程为$\begin{cases}f(x,z)=0 \\ y=0\end{cases}$ - $L$绕$x$轴旋转一周产生的旋转面方程：$f(x,\pm\sqrt{y^2+z^2})=0$ - $L$绕$z$轴旋转一周产生的旋转面方程：$f(\pm\sqrt{x^2+y^2},z)=0$ #### (2)九类二次曲面 - 椭圆锥面：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=z^2$$ - 椭球面：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$ - 单叶双曲面：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$ - 双叶双曲面：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$$ - 椭圆抛物面：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=\pm z$$ - 双曲抛物面：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\pm z$$ - 椭圆柱面：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ - 双曲柱面：$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$ - 抛物柱面：$$x^2=ay$$ ### 4、空间曲线在坐标轴上的投影 空间曲线在某坐标面上的投影曲线，简称为曲线在坐标面上的投影。 设空间曲线$L$的一般方程是$\begin{cases}F(x,y,z)=0 \\ G(x,y,z)=0\end{cases}$，消去$z$得投影柱面方程$H(x,y)=0$， 则$L$在$xOy$平面上投影曲线的方程是$$\begin{cases}H(x,y)=0 \\ z=0\end{cases}$$ ### 5、空间曲线的切线及法平面方程 设空间曲线$\begin{cases}x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t)\end{cases}$在点$(x_0,y_0,z_0)$（对应$t=t_0$）处： - 切线方程：$$\frac{x-x_0}{x'(t_0)}=\frac{y-y_0}{y'(t_0)}=\frac{z-z_0}{z'(t_0)}$$ - 法平面方程：$$x'(t_0)(x-x_0)+y'(t_0)(y-y_0)+z'(t_0)(z-z_0)=0$$ ### 6、空间曲面在其点上某点处的切平面和法线方程 设曲面$\Sigma$的方程为$F(x,y,z)=0$，则在$\Sigma$上一点$(x_0,y_0,z_0)$处： - 切平面方程： $$F_x'\big|_{(x_0,y_0,z_0)}(x-x_0)+F_y'\big|_{(x_0,y_0,z_0)}(y-y_0)+F_z'\big|_{(x_0,y_0,z_0)}(z-z_0)=0$$ - 法线方程： $$\frac{x-x_0}{F_x'\big|_{(x_0,y_0,z_0)}}=\frac{y-y_0}{F_y'\big|_{(x_0,y_0,z_0)}}=\frac{z-z_0}{F_z'\big|_{(x_0,y_0,z_0)}}$$ ### 7、方向导数与梯度 #### (1)方向导数 $$\left.\frac{\partial f}{\partial l}\right|_{(x_0,y_0)}=f_x'(x_0,y_0)\cos\alpha+f_y'(x_0,y_0)\cos\beta$$ 其中$(\cos\alpha,\cos\beta)$是$l$方向的方向余弦。 #### (2)梯度 $$\mathrm{grad}\,f(x_0,y_0)=f_x'(x_0,y_0)\boldsymbol{i}+f_y'(x_0,y_0)\boldsymbol{j}$$ ## 第九章 三重积分 ### 1、不同坐标系下的表示 #### 直角坐标系下的三重积分 - 先一后二：$$\iiint_\Omega f(x,y,z)dv=\iint_{D_{xy}}dxdy\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)dz$$ - 先二后一：$$\iiint_\Omega f(x,y,z)dv=\int_c^d dz\iint_{D_z}f(x,y,z)dxdy$$ #### 柱坐标系下的三重积分 $$\iiint_\Omega f(x,y,z)dv=\iiint_\Omega f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)rdrd\theta dz$$ #### 球坐标系下的三重积分 $$\iiint_\Omega f(x,y,z)dv=\iiint_\Omega f(r\sin\varphi \cos\theta,r\sin\varphi \sin\theta,r\cos\varphi)r^2\sin\varphi\,drd\varphi d\theta$$ ### 2、三重积分的普通对称性与轮换对称性 #### ① 奇偶对称性 若$\Omega$关于$xOy$面对称： $$\iiint_\Omega f(x,y,z)dv= \begin{cases} 0, & f(x,y,-z)=-f(x,y,z) \\ 2\iiint_{\Omega_1} f(x,y,z)dv, & f(x,y,-z)=f(x,y,z) \end{cases}$$ 其中$\Omega_1$是$\Omega$在$xOy$面上方部分，关于$yOz、xOz$面的对称性有类似的性质。 #### ② 轮换对称性 如果积分区域关于变量$x,y,z$具有轮换对称性（即将表示积分区域的方程$x$换成$y$、$y$换成$z$或$z$换成$x$后表达式不变），则 $$\iiint_\Omega f(x,y,z)dv=\iiint_\Omega f(y,z,x)dv=\iiint_\Omega f(z,x,y)dv$$ ### 3、换元法求三重积分 $$\iiint_{\Omega_{xyz}} f(x,y,z)dxdydz\xlongequal{\begin{cases}x=x(u,v,w) \\ y=y(u,v,w) \\ z=z(u,v,w)\end{cases}}\iiint_{\Omega_{uvw}}f\left[x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)\right]\left|\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right|dudvdw$$ 1. 被积函数替换：$f(x,y,z)\to f\left[x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)\right]$ 2. 积分区域替换：$\iiint_{\Omega_{xyz}}\to\iiint_{\Omega_{uvw}}$ 3. 体积元素替换：$dxdydz\to\left|\displaystyle\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}\right|dudvdw$ 其中变换为一一映射，各变换函数有一阶连续偏导数，且雅可比行列式： $$\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)}=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}&\frac{\partial x}{\partial w}\\ \frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}&\frac{\partial y}{\partial w}\\ \frac{\partial z}{\partial u}&\frac{\partial z}{\partial v}&\frac{\partial z}{\partial w} \end{vmatrix}\neq0$$ ### 4、几何物理应用 #### (1)体积 空间立体$\Omega$体积：$$V=\iiint_\Omega dv$$ #### (2)总质量 体密度为$\rho(x,y,z)$，总质量：$$m=\iiint_\Omega \rho(x,y,z)dv$$ #### (3)重心 $$\overline{x}=\frac{\iiint_\Omega x\rho(x,y,z)dv}{\iiint_\Omega \rho(x,y,z)dv},\ \overline{y}=\frac{\iiint_\Omega y\rho(x,y,z)dv}{\iiint_\Omega \rho(x,y,z)dv},\ \overline{z}=\frac{\iiint_\Omega z\rho(x,y,z)dv}{\iiint_\Omega \rho(x,y,z)dv}$$ #### (4)转动惯量 $$I_x=\iiint_\Omega (y^2+z^2)\rho(x,y,z)dv,\ I_y=\iiint_\Omega (z^2+x^2)\rho(x,y,z)dv$$ $$I_z=\iiint_\Omega (x^2+y^2)\rho(x,y,z)dv,\ I_o=\iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)\rho(x,y,z)dv$$ #### (5)引力 $$F_x=Gm\iiint_\Omega \frac{\rho(x,y,z)(x-x_0)}{\left[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2\right]^{\frac{3}{2}}}dv$$ $$F_y=Gm\iiint_\Omega \frac{\rho(x,y,z)(y-y_0)}{\left[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2\right]^{\frac{3}{2}}}dv$$ $$F_z=Gm\iiint_\Omega \frac{\rho(x,y,z)(z-z_0)}{\left[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2\right]^{\frac{3}{2}}}dv$$ ## 第十章 曲线曲面积分 ### 1、曲线积分化为定积分 #### (1)曲线$L:y=\varphi(x),\ a\leq x\leq b$ ##### ① 第一类曲线积分 $$\int_L f(x,y)ds=\int_a^b f\left[x,\varphi(x)\right]\sqrt{1+[\varphi'(x)]^2}dx$$ ##### ② 第二类曲线积分 $$\int_L Pdx+Qdy=\int_a^b \left[P(x,\varphi(x))+Q(x,\varphi(x))\varphi'(x)\right]dx$$ #### (2)参数方程曲线$L:\begin{cases}x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t)\end{cases},\ \alpha\leq t\leq\beta$ ##### ① 第一类曲线积分 $$\int_L f(x,y,z)ds=\int_\alpha^\beta f\left[x(t),y(t),z(t)\right]\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)+z'^2(t)}dt$$ ##### ② 第二类曲线积分 $$\int_C Pdx+Qdy+Rdz=\int_\alpha^\beta \Big[P(x(t),y(t),z(t))x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))z'(t)\Big]dt$$ ### 2、第一类曲线积分的简化 #### (1)$L$关于$y$轴对称 $$\int_L f(x,y)ds= \begin{cases} 0, & f(-x,y)=-f(x,y) \\ 2\int_{L_1} f(x,y)ds, & f(-x,y)=f(x,y) \end{cases}$$ 其中$L_1$是$L$在$y$轴右方的部分。 #### (2)$L$关于$x$轴对称 $$\int_L f(x,y)ds= \begin{cases} 0, & f(x,-y)=-f(x,y) \\ 2\int_{L_1} f(x,y)ds, & f(x,-y)=f(x,y) \end{cases}$$ 其中$L_1$是$L$在$x$轴上方的部分。 #### (3)轮换对称性 若积分区域关于$x,y$轮换对称，则 $$\int_L f(x,y)ds=\int_L f(y,x)ds=\frac{1}{2}\int_L \left[f(x,y)+f(y,x)\right]ds$$ ### 3、第一类曲面积分化为二重积分 曲面$S:z=z(x,y),(x,y)\in D_{xy}$，分块光滑，$f(x,y,z)$在$S$上连续，则 $$\iint_S f(x,y,z)dS=\iint_{D_{xy}} f\left[x,y,z(x,y)\right]\sqrt{1+z_x'^2+z_y'^2}d\sigma$$ 向其余两个坐标面投影同理。 ### 4、第二类曲面积分化为重积分 #### (1)$S:z=z(x,y),\ (x,y)\in D_{xy}$ $$\iint_S Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\pm\iint_{D_{xy}}\left[P\left(-\frac{\partial z}{\partial x}\right)+Q\left(-\frac{\partial z}{\partial y}\right)+R\right]dxdy$$ 上侧取$+$，下侧取$-$。 #### (2)$S:y=y(x,z),\ (x,z)\in D_{xz}$ $$\iint_S Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\pm\iint_{D_{xz}}\left[P+Q\left(-\frac{\partial y}{\partial z}\right)+R\left(-\frac{\partial y}{\partial x}\right)\right]dxdz$$ 右侧取$+$，左侧取$-$。 #### (3)$S:x=x(y,z),\ (y,z)\in D_{yz}$ $$\iint_S Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=\pm\iint_{D_{yz}}\left[P\left(-\frac{\partial x}{\partial y}\right)+Q+R\left(-\frac{\partial x}{\partial z}\right)\right]dydz$$ 前侧取$+$，后侧取$-$。 ### 5、格林公式 #### 格林公式原式 设闭区域$D$由分段光滑的曲线$L$围成，$P,Q$在$D$上有一阶连续偏导数，则： $$\oint_L Pdx+Qdy=\iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$ $L$为$D$的正向边界曲线。 #### 平面曲线积分与路径无关等价条件 单连通区域$D$内$P,Q$一阶连续偏导数，下述条件等价： 1. $\int_L Pdx+Qdy$与路径无关； 2. $D$内任一闭曲线$\oint_L Pdx+Qdy=0$； 3. $D$内恒有$\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$； 4. 存在原函数$u(x,y)$，满足$du=Pdx+Qdy$，且$\displaystyle u(x,y)=\int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} Pdx+Qdy$。 ### 6、高斯公式 设空间闭区域$\Omega$由分片光滑闭曲面$\partial\Omega$围成，$P,Q,R$在$\Omega$上一阶连续偏导数，则： $$\iint_{\partial \Omega} P \, dydz + Q \, dzdx + R \, dxdy = \iiint_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV$$ $\partial\Omega$取外侧。 ### 7、斯托克斯公式 $\Gamma$为分段光滑空间有向闭曲线，$\Sigma$为以$\Gamma$为边界的分片光滑有向曲面，正向满足右手规则，则： $$\begin{aligned} \oint_{\Gamma} Pdx+Qdy+Rdz&=\iint_{\Sigma}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dydz+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)dzdx+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy \\ &=\iint_{\Sigma}\begin{vmatrix}dydz&dzdx&dxdy\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\end{vmatrix}=\iint_{\Sigma}\begin{vmatrix}\cos\alpha&\cos\beta&\cos\gamma\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\end{vmatrix}dS \end{aligned}$$ $\boldsymbol{n}=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)$为$\Sigma$单位法向量。 ### 8、通量、散度、旋度 设向量场$\boldsymbol{A}(x,y,z)=P\boldsymbol{i}+Q\boldsymbol{j}+R\boldsymbol{k}$，$P,Q,R$一阶连续偏导数。 #### (1)通量 有向曲面$\Sigma$，单位法向量$\boldsymbol{n}$，通量：$$\iint_{\Sigma} \boldsymbol{A}\cdot \boldsymbol{n}\,dS$$ #### (2)散度 $$\mathrm{div}\,\boldsymbol{A}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$ #### (3)旋度 $$\mathrm{rot}\,\boldsymbol{A}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\boldsymbol{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\boldsymbol{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\boldsymbol{k}=\begin{vmatrix}\boldsymbol{i}&\boldsymbol{j}&\boldsymbol{k}\\\frac{\partial}{\partial x}&\frac{\partial}{\partial y}&\frac{\partial}{\partial z}\\P&Q&R\end{vmatrix}$$ ### 9、多元积分的应用 #### (1)曲顶柱体的体积 $$V=\iint_D |z(x,y)|dxdy$$ $D$为立体在$xOy$面上投影区域。 #### (2)空间曲面的面积 曲面$S:z=f(x,y)$，投影区域$D_{xy}$，则： $$A=\iint_{D_{xy}} \sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}dxdy$$ #### (3)质心 1. 平面薄片$D$，面密度$\rho(x,y)$： $$\overline{x}=\frac{\iint_D x\rho(x,y)d\sigma}{\iint_D \rho(x,y)d\sigma},\ \overline{y}=\frac{\iint_D y\rho(x,y)d\sigma}{\iint_D \rho(x,y)d\sigma}$$ 2. 空间立体$\Omega$，体密度$\rho(x,y,z)$： $$\overline{x}=\frac{\iiint_\Omega x\rho(x,y,z)dv}{\iiint_\Omega \rho(x,y,z)dv},\ \overline{y}=\frac{\iiint_\Omega y\rho(x,y,z)dv}{\iiint_\Omega \rho(x,y,z)dv},\ \overline{z}=\frac{\iiint_\Omega z\rho(x,y,z)dv}{\iiint_\Omega \rho(x,y,z)dv}$$ #### (4)转动惯量 1. 平面薄片：$$I_x=\iint_D y^2\rho d\sigma,\ I_y=\iint_D x^2\rho d\sigma$$ 2. 空间立体： $$I_x=\iiint_\Omega (y^2+z^2)\rho dv,\ I_y=\iiint_\Omega (x^2+z^2)\rho dv,\ I_z=\iiint_\Omega (x^2+y^2)\rho dv$$ #### (5)空间物体对质点的引力 $$F_x=Gm_0\iiint_\Omega \frac{\rho(x-x_0)}{\left[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2\right]^{3/2}}dv$$ $$F_y=Gm_0\iiint_\Omega \frac{\rho(y-y_0)}{\left[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2\right]^{3/2}}dv$$ $$F_z=Gm_0\iiint_\Omega \frac{\rho(z-z_0)}{\left[(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2\right]^{3/2}}dv$$ $G$为引力常数。 --- ## 第十一章 其他公式 ### 1、椭圆椭球积分表 #### 一、二维椭圆区域上的二重积分公式 设标准椭圆区域：$$D: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1,\ a>0,b>0$$ ##### 1. 奇偶性通则

\iint_D x^m y^n dxdy= \begin{cases} 0, & m\text{ 或 }n\text{ 为奇数}\ \text{非零}, & m,n\text{ 均为偶数} \end{cases}

##### 2. 偶次项具体公式表 |积分项|结果| | ---- | ---- | |面积 $\displaystyle\iint_D 1 dxdy$|$\pi ab$| |$\displaystyle\iint_D x^2 dxdy$|$\dfrac{\pi}{4}a^3b$| |$\displaystyle\iint_D y^2 dxdy$|$\dfrac{\pi}{4}ab^3$| |$\displaystyle\iint_D x^4 dxdy$|$\dfrac{\pi}{8}a^5b$| |$\displaystyle\iint_D y^4 dxdy$|$\dfrac{\pi}{8}ab^5$| |$\displaystyle\iint_D x^2 y^2 dxdy$|$\dfrac{\pi}{24}a^3b^3$| |$\displaystyle\iint_D x^6 dxdy$|$\dfrac{5\pi}{64}a^7b$| ##### 3. 通用公式 $m,n$均为偶数时： $$\iint_D x^m y^n dxdy = a^{m+1} b^{n+1} \cdot \frac{\Gamma\left(\frac{m+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)} {\Gamma\left(\frac{m+n}{2}+2\right)}$$ #### 二、三维椭球区域上的三重积分公式 设标准椭球区域：$$\Omega: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}\le 1,\ a>0,b>0,c>0$$ ##### 1. 奇偶性通则

\iiint_\Omega x^m y^n z^p dxdydz= \begin{cases} 0, & m,n,p\text{ 中至少一个为奇数}\ \text{非零}, & m,n,p\text{ 均为偶数} \end{cases}

##### 2. 偶次项具体公式表 |积分项|结果| | ---- | ---- | |体积 $\displaystyle\iiint_\Omega 1 dV$|$\dfrac{4}{3}\pi abc$| |$\displaystyle\iiint_\Omega x^2 dV$|$\dfrac{4}{15}\pi a^3bc$| |$\displaystyle\iiint_\Omega y^2 dV$|$\dfrac{4}{15}\pi ab^3c$| |$\displaystyle\iiint_\Omega z^2 dV$|$\dfrac{4}{15}\pi abc^3$| |$\displaystyle\iiint_\Omega x^4 dV$|$\dfrac{4}{35}\pi a^5bc$| |$\displaystyle\iiint_\Omega y^4 dV$|$\dfrac{4}{35}\pi ab^5c$| |$\displaystyle\iiint_\Omega z^4 dV$|$\dfrac{4}{35}\pi abc^5$| |$\displaystyle\iiint_\Omega x^2 y^2 dV$|$\dfrac{4}{105}\pi a^3b^3c$| |$\displaystyle\iiint_\Omega x^2 z^2 dV$|$\dfrac{4}{105}\pi a^3bc^3$| |$\displaystyle\iiint_\Omega y^2 z^2 dV$|$\dfrac{4}{105}\pi ab^3c^3$| ##### 3. 通用公式 $m,n,p$均为偶数时： $$\iiint_\Omega x^m y^n z^p dV = a^{m+1} b^{n+1} c^{p+1} \cdot \frac{\Gamma\left(\frac{m+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{p+1}{2}\right)} {\Gamma\left(\frac{m+n+p}{2}+\frac{5}{2}\right)}$$ #### 三、退化情形：球与圆 ##### 1. 二维圆形（$a=b=R,\ x^2+y^2\le R^2$） |积分项|结果| | ---- | ---- | |$\iint_D x^2 dxdy$|$\dfrac{\pi}{4}R^4$| |$\iint_D x^4 dxdy$|$\dfrac{\pi}{8}R^6$| |$\iint_D x^2 y^2 dxdy$|$\dfrac{\pi}{24}R^6$| ##### 2. 三维球体（$a=b=c=R,\ x^2+y^2+z^2\le R^2$） |积分项|结果| | ---- | ---- | |$\iiint_\Omega x^2 dV$|$\dfrac{4}{15}\pi R^5$| |$\iiint_\Omega x^4 dV$|$\dfrac{4}{35}\pi R^7$| |$\iiint_\Omega x^2 y^2 dV$|$\dfrac{4}{105}\pi R^7$|
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